Работа 9. СКОРОСТЬ ЗВУКА

Задание 1: определить скорость звука в воздухе с предельной относительной погрешностью E, не превышающей 5 %.

Задание 2: определить скорость звука в стали с предельной относительной погрешностью E, не превышающей 5 %.

Оборудование и принадлежности: установка для определения скорости звука в воздухе и в стальной пластинке, микрометр.

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

Рис. 1

Установка состоит из звукового генератора ГЗ-18 и панели, на которой расположены трубка Тр с закрепленными на концах телефоном Т1 и микрофоном М (рис. 1), микроамперметр µA А также установлены устройства для закрепления стальной пластинки Пл И телефона Т2 (без мембраны). Винты В1 и В2 позволяют плавно изменять длину пластинки и расстояние телефона от пластинки. Переключатель П позволяет поочередно подключать к звуковому генератору ГЗ-18 телефоны Т1 и Т2. При подаче на электромагнит телефона Т2 переменного электрического напряжения стальная пластинка совершает вынужденные колебания. Подбором частоты напряжения можно достичь резонанса. Выпрямленное и стабилизированное напряжение, подаваемое на микрофон, может регулироваться с помощью потенциометра R (рис. 2). Микроамперметр µA Позволяет регистрировать силу тока, проходящего через микрофон, и судить о давлении, оказываемом воздушным столбом на его мембрану.

Рис. 2

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ

Общие сведения. Колебания, возникшие в некоторой точке упругой среды (или электромагнитного поля), передаются соседним точкам. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний материальной точки, происходящих вдоль оси Х, имеет вид:

, (1)

Где W – круговая, или циклическая частота колебаний.

Волной Называются распространяющиеся в пространстве возмущения состояния вещества или поля.

Волны в веществе называются Упругими Волнами. Упругие волны в жидкостях и газах являются Продольными. В них колебания частиц вещества происходят Вдоль направления распространения волны. (Волны на поверхности жидкости не являются упругими. Они вызваны либо силами поверхностного натяжения, либо силами тяжести.) В твёрдых телах могут распространяться как Продольные, так и Поперечные Волны. В поперечной волне колебания частиц происходят Перпендикулярно Направлению распространения волны.

Волновой поверхностью Называется множество точек, в которых фазы колебаний одинаковы. В зависимости от формы волновой поверхности различают Плоские, сферические, цилиндрические И т. д. волны. Уравнение монохроматической плоской гармонической волны, распространяющейся в положительном направлении оси Х, Имеет вид:

(2)

Где X – смещение частицы среды из положения равновесия; A – Амплитуда волны, т. е. максимальное смещение частицы из положения равновесия; C – скорость волны; W(T — X/C) – Фаза волны. Циклическая частота W Связана с частотой N, периодом T, и длиной волны L:

(3)

Упругие волны с большой амплитудой называются Ударными Волнами. Упругие волны с малой амплитудой, которые воспринимаются человеческим ухом, называются Звуком. Частота звука лежит в интервале приблизительно от 16 Гц До 20000 Гц.

Скорость звука зависит от свойств вещества. Скорость звука в газах является функцией абсолютной температуры Т:

(4)

Где G – показатель адиабаты (для воздуха G = 1,4); R – универсальная газовая постоянная, M – молярная масса газа. Для воздуха при Т = 293 К Получим С = 343 М/с.

Скорость продольных звуковых волн в твёрдых телах определяется соотношением:

(5)

Где E – модуль Юнга, R – плотность тела.

При наложении двух волн (Бегущих волн) одинаковой амплитуды и частоты, распространяющихся в противоположных направлениях, образуется Стоячая Волна. В стоячей волне не происходит результирующего переноса энергии, так как бегущие волны несут одинаковые количества энергии в противоположных направлениях.

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА В ВОЗДУХЕ

МЕТОДОМ СТОЯЧИХ ВОЛН

Теория метода. Измерение скорости звука в воздухе в данной работе основано на использовании свойств стоячих волн.

Стоячие волны в объеме воздуха, заключенном в трубе Тр, можно получить, поместив в одном ее конце телефон Т, в другом микрофон М (рис. 3, А). Мембрана телефона порождает колебания воздуха, которые распространяются вдоль трубы в виде плоской волны. При отражении от микрофона возникает плоская волна противоположного направления.

Рис. 3

В зависимости от отношений плотностей граничащих сред отражение происходит по-разному. Рассмотрим отражение от менее плотной среды (в предельном случае от вакуума) на примере распространения волны в стержне. Пусть левый конец стержня связан с источником колебаний, а правый свободен. Когда деформация (например, сжатие), вызванная источником колебания, достигает свободного конца, он в результате сжатия получает ускорение вправо. Это движение не встречает со стороны вакуума сопротивления, поэтому к моменту исчезновения деформации конец стержня будет двигаться с наибольшей скоростью. В дальнейшем движение конца стержня замедляется, вызывая его растяжение. Со временем деформация растяжения передается по стержню, перемещаясь справа налево. Аналогично и деформация растяжения, отразившись от свободного конца, перемещается обратно в виде деформации сжатия. Поэтому при отражении от границы с меньшей плотностью за приходящим сжатием следует уходящее растяжение и обратно, сжатие и растяжение чередуются в том же порядке, как и в свободно распространяющейся волне. Это значит, что на свободном конце стержня волна отражается, меняя свое направление на обратное, причем изменения фазы волны на границе отражения не происходит.

Во втором случае, когда отражение происходит от более плотной среды, что в пределе соответствует жестко закрепленному концу стержня, дошедшая до него деформация не может привести этот конец стержня в движение. Возникшее здесь сжатие или растяжение отражается от закрепленного конца в виде той же деформации. Следовательно, при отражении от более плотной среды за сжатием в проходящей волне будет следовать не растяжение, а сжатие в отраженной волне, и за растяжением в проходящей волне — растяжение в отраженной. Поэтому при отражении фаза волны меняется на π.

Пусть мембрана телефона совершает гармонические колебания с амплитудой A и циклической частотой ώ. Тогда в волне, распространяющейся от телефона, смещение X1 частиц воздуха в любом сечении столба, отстоящем от источника колебаний на расстоянии X (см. рис. 3, A), будет описываться уравнением (2). В том же сечении в отраженной волне смещение

(6)

Где L – расстояние между телефоном и микрофоном, т. е. длина воздушного столба в трубе. Знак минус учитывает изменение фазы на π при отражении. При сложении этих бегущих волн образуется стоячая волна:

Или

(7)

Где амплитуда стоячей волны

(8)

Сечения, в которых А = 0, называются узлами смещений. Посередине между узлами амплитуда максимальна – это пучности смещений. Конец воздушного столба (X = L) является узлом. Графическое распределение (один из возможных случаев) амплитудных смещений А в стоячей волне представлено на рисунке 3, б. Полагая в (8) А = 0 и учитывая (3), найдём координаты узлов:

(9)

Где N = 0, 1, 2, 3, …….. – целое число.

Фазы колебаний всех частиц, расположенных между двумя соседними узлами, одинаковы, т. е. колебания таких частиц являются синфазными. При переходе через узел фазы скачком изменяется на π , т. е. частицы, расположенные по разные стороны узла, колеблются в противофазе. Со временем фазы колебаний частиц изменяются.

Расстояние между двумя соседними узлами (или пучностями) называется длиной стоячей волны λс (см. рис. 3, б). Из (9) следует, что она в два раза меньше длины бегущей волны λ, т. е.

λC=λ/2. (10)

В узлах стоячей волны смещений скорости частиц среды равны нулю, а в ее пучностях отсутствуют деформации (стоячая волна деформаций ξ(рис. 3, в) по отношению к стоячей волне скоростей сдвинута по фазе на λ2) (см. рис. 3, б). Поэтому энергия стоячей волны, заключенная между узлом и соседней пучностью, локализована в этом участке среды и не переносится волной. Она только переходит из кинетической в потенциальную и обратно (дважды за один период).

Как показывают расчеты и опыт, амплитуда стоячей волны в ее пучности максимальна (такие колебания называются собственными), если в месте расположения источника (телефона) бегущей волны образуется узел стоячей волны смещения. В конце закрытого воздушного столба (у микрофона), как уже отмечалось, всегда образуется узел смещения (что соответствует N = 0 в (9)). Полагая в (9) Х = 0, получим, что стоячая волна с максимальной амплитудой в пучности установится в том случае, если на длине L воздушного столба укладывается целое число стоячих волн или в соответствии с (10) целое число бегущих полуволн:

(11)

Частоту собственных колебаний воздушного столба в трубе с учетом (11) можно представить в виде

(12)

При N = 1 частота соответствующего собственного колебания называется основной, все остальные собственные частоты называются обертонами.

Из соотношения (12) следует, что получить собственные колебания воздуха в трубе можно двумя способами: подбирая или длину столба или частоту колебаний мембраны телефона. Если при фиксированном значении L на телефон подавать электрическое напряжение от звукового генератора и плавно изменять его частоту, то с помощью микрофона можно установить ряд последовательных частот νN (обертонов).

Если построить график NN = F(N), откладывая по оси абсцисс номера N обертонов, а по оси ординат — соответствующие значения частот νN, то в соответствии с формулой (12) должна получиться прямая линия. Тангенс угла J Наклона этой прямой к оси абсцисс определим по графику TgJ = (NK — NP)/(K — P), где K И P— номера соответствующих обертонов. Тогда из (12) скорость звука С в воздухе выразиться через две экспериментально определяемые величины:

(13)

По отклонениям экспериментальных точек от прямой судят о величине случайных ошибок.

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА В ТВЕРДЫХ СРЕДАХ

МЕТОДОМ РЕЗОНАНСА

Теория метода. В упругом теле конечных размеров (например, струна или камертон) могут происходить колебания с определенными частотами. В этом можно убедиться, ударив молоточком по струне, камертону или другому упругому телу. Это Собственные колебания упругого тела, их частоты связаны между собой. Амплитуда колебаний минимальной частоты (основного тона или первой гармоники), наибольшая. Эта частота определяет звучание тела. Амплитуда колебаний второй, третьей т. д. гармоник, или обертонов, меньше. От них зависит тембр звучания.

В упругом теле, на которое действует периодически изменяющаяся внешняя сила, возникают Вынужденные колебания той же частоты. Если частота внешней силы совпадет с частотой одной из гармоник собственных колебаний тела, наступит Резонанс. При этом амплитуда колебаний тела резко возрастет.

Аналогичная зависимость наблюдается и для стальной пластинки, один конец которой жестко закреплен (рис. 3). Амплитуда колебаний пластинки резко возрастает, когда частота внешней силы, приложенной к нижнему концу пластинки, совпадает с одной из частот νI ее собственных колебаний (i = 1, 2, 3 … – номер гармоники колебаний). Частота νI зависит от размеров и физических свойств (модуля Юнга и плотности) материала пластинки. Скорость звука (см. соотношение 3) также определяется физическими свойствами материала пластинки.

Теоретический анализ показывает, что скорость звука в пластинке выражается через ее длину L, толщину D, собственную частоту колебаний NI и безразмерный параметр BI:

(14)

Численное значение Bi определяется номером гармоники колебаний: B1 = 1,87510; B2 = 4,69410; .

Из (14) следует, что собственная частота колебаний пластинки обратно пропорциональна квадрату ее длины (остальные величины в (14) постоянные):

, (15)

Где

. (16)

Тогда

(17)

ПОДГОТОВКА АППАРАТУРЫ

1. Перед включением на панели звукового генератора ГЗ-18 установить:

– регулятор плавной регулировки питания в положение минимума (крайнее левое положение;

– регулятор ступенчатой регулировки на 30 В;

– переключатель шкалы вольтметра на 10 В;

–регуляторы нуля, частоты выходного сигнала и расстройки в положения, при которых на соответствующих им шкалах будут нулевые значения.

2. Включить звуковой генератор ГЗ-18.

3. Плавно поворачивая регулятор плавной регулировки питания генератора ГЗ-18 и следя за показаниями вольтметра на его панели, установить выходное напряжение Uвых £ 10 В (рекомендуется 6 В). При заданном положении переключателя шкалы вольтметра генератора полному отклонению стрелки вольтметра соответствует напряжение 10 В.

4. Установить нуль частоты звукового генератора ГЗ-18. Для этого регулятор установки нуля (частоты) плавно поворачивать с тем, чтобы стрелка вольтметра генератора прекратила колебания и установилась на нуле; при этом регуляторы частоты выходного сигнала и расстройки генератора остаются в положениях, при которых на соответствующих им шкалах установлены нулевые значения.

Порядок выполнения задания 1

1. Измерить длину воздушного столба L в трубке. (0,440 М)

2. Подключить звуковой генератор к телефону Т1, для чего двухпозиционный переключатель П (рис. 1) установить в положение 1.

3. Плавно изменяя частоту подаваемого на телефон Т1 напряжения, по минимумам тока, текущего через микрофон (при этом стрелка микроамперметра отклоняется влево, на микрофоне будет узел стоячей волны), определить последовательный ряд собственных частот νN воздушного столба. Результаты измерений занести в таблицу 1.

Таблица 1.

Результаты измерений и расчётов для определения скорости звука в воздухе.

4. Обозначив в формуле (12) X = N, Y = NN , A = C/2L, найти среднее значение и относительную случайную погрешность С методом наименьших квадратов (см. Приложение 1).

5. Построить график νN = F(N) .

6. Используя график и формулу (13), определить среднее значение скорости звука в воздухе. Сравнить полученные результаты с табличным значением величины С.

Порядок выполнения задания 2

1. Двухпозиционный переключатель П (рис. 1) установить в положение 2.

2. Провести контрольные измерения величин L, D, N, входящих в правую часть равенства (15). Для измерения резонансной частоты необходимо, плавно изменяя ручкой “расстройка частоты” частоту подаваемого на электромагнит телефона T2 напряжения, определить такое значение частоты ν , при котором наступает резонанс (при необходимости расстояние от телефона Т2 до пластинки регулируется винтом В2).

3. Оценить минимальную относительную погрешность прямых измерений L, D, N. Приборную погрешность N Считать равной 0,01N.

4. Оценить минимальную относительную погрешность косвенных измерений величины C.

5. Изменяя L в пределах от 8,0 См до 12,5 См, определить соответствующие им значения резонансной частоты N. Результаты измерений занести в таблицу 2.

Таблица 1.

Результаты измерений и расчётов для определения скорости звука в стали.

6. Обозначив в формуле (14) X = 1/L2, Y = NI, определить среднее значение и относительную случайную погрешность С методом наименьших квадратов. Сравнить полученный результат с табличным значением скорости продольных звуковых волн в стали.

7. Оценить полную относительную погрешность E косвенных измерений скорости звука в стали.

На основании проделанных измерений сформулировать цель работы и сделать выводы.

Контрольные вопросы.

1. Чем отличаются стоячие волны от бегущих?

2. Имеются ли среды, в которых скорость распространения поперечных волн больше, чем продольных?

3. Как определить, установились ли собственные колебания воздушного столба в трубе?

ЛИТЕРАТУРА

1. Кембровский Г. С. Приближённые вычисления и методы обработки результатов измерений в физике. — Минск: Изд-во "Университетское", 1990. -189 с.

2. Матвеев А. Н. Механика и теория относительности. — М.: Высшая школа, 1986. -320 с.

3. Петровский И. И. Механика. — Минск: Изд-во БГУ, 1973. -352 с.

4. Савельев И. В. Курс общей физики. — М.: Наука, 1982. Т. 1. Механика. Молекулярная физика. -432 с.

5. Сивухин Д. В. Общий курс физики. М.: Наука, 1989 Т. 1. Механика. -576 с.

6. Стрелков С. П. Механика. — М.: Наука, 1975. -560 с.

7. Физический практикум. Под ред. Кембровского Г. С. — Минск: Изд-во "Университетское", 1986. -352 с.

Приложение 1.

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Нанесение экспериментальных точек и проведение по ним графика «на глаз», а также определение по графику абсцисс и ординат точек, не отличаются высокой точностью. Её можно повысить, если использовать аналитический метод. Математическое правило построения графика заключается в подборе таких значений параметров «а» и «в» в линейной зависимости вида У = ах + B, чтобы сумма квадратов отклонений DУi (рис. 5) всех экспериментальных точек от линии графика была наименьшей (Метод «наименьших квадратов»), т. е. чтобы величина

Рис. 5

(1)

Имела минимум. Здесь Xi и Yi — значения величин Х и У в I-том измерении, N — количество измерений. Величина S будет минимальной, если её частные производные по параметрам А и B будут равны нулю:

(2)

Отсюда наилучшие значения параметров «а» и «B» равны:

(3)

Где средние значения ,.

Введем обозначения

и (4)

Абсолютные случайные погрешности DАсл и DBсл определяются по формулам:

и (5)

Где Tp, n-2 — коэффициент Стьюдента для доверительной вероятности P и (n-2) измерений. При P = 0,95 и N ~ 12-15 коэффициент Tp, n-2 = 2,25, а при P = 0,997 и тех же значениях N Коэффициент Tp, n-2 = 3,25.