Будем рассматривать ряды ,
. Последовательность
будет монотонной неубывающей последовательностью. Тогда очевидна теорема:
Теорема. Для того чтобы ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность
} была ограниченной.
Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами
Теорема (признак сравнения)
Пусть даны два ряда: (1) и
(2). Если, начиная с некоторого номера выполняется:
(3),
, то из сходимости ряда (2)
сходимость ряда (1); из расходимости ряда (1)
расходимость ряда (2).
Доказательство:
Не ограничивая общности, будем считать, что неравенство выполняется для всех n (см. выводы в 2).
Пусть . Очевидно, последовательности {
} и {
} – монотонные неубывающие.
Пусть ряд (2) сходится. Тогда {} ограничена:
. Но тогда, в силу (3),
и ряд (1) – также сходится.
Пусть ряд (1) расходится. Если бы ряд (2) сходился, то, по доказанному выше, сходился бы и ряд (1). Т. е. получили бы противоречие. Таким образом, ряд (2) также расходится.
Теорема (признак сравнения в предельной форме)
Пусть Если существует
то ряды (1) и (2) сходятся либо расходятся одновременно.
Доказательство:
Пусть ряд (2) сходится.
Из существования :
, откуда получаем:
или
следует сходимость ряда (1).
Пусть ряд (2) расходится.
Существует , откуда аналогичным образом получаем:
.
Если бы сходился ряд (1), а вместе с ним и ряд , то по теореме 1 сходился бы и ряд (2). А это не так. Значит, ряд (1) также расходится.
Пример: .
Так как , а ряд
— расходится (
то расходится и ряд
.
Теорема (признак Коши)
Пусть Если, начиная с некоторого номера
,
для всех
, то ряд (1) сходится. Если же
, то ряд (1) расходится.
Доказательство:
1. Пусть при
. Не ограничивая общности, можем считать, что
Тогда
и при
ряд
сходится, и по теореме 1 сходится ряд (1).
2. Если же , то
и ряд (1) расходится.
Замечание
Условие нельзя заменит следующим:
<1.
Пример:
При
, однако ряд расходится.
Теорема (признак Коши в предельной форме)
Если существует , то при
ряд (1) сходится; при
расходится, при
этот признак не даёт возможности судить о поведении ряда.
Доказательство:
A) Начиная с некоторого номера
<
1. Ряд сходится.
Б) начиная с некоторого номера
>1. Ряд расходится.
Теорема (признак Даламбера)
Пусть Если, начиная с некоторого номера
,
для всех
, то ряд (1) сходится. Если же
, то ряд (1) расходится.
Доказательство:
Пусть . Для
Т. к. ряд — сходится, то, по признаку сравнения, сходится и остаток ряда
, а значит, сходится ряд
(1).
Пусть для
. Т. е.
и
, не выполняется необходимое условие сходимости ряда. Ряд расходится.
Теорема (признак Даламбера в предельной форме)
Если то при
ряд (1) сходится, при
расходится, при
этот признак не даёт возможности судить о поведении ряда.
Доказательство:
A) Начиная с некоторого номера
Ряд сходится.
Б) начиная с некоторого номера
>1. Ряд расходится.
Примеры:
1. Исследовать сходимость ряда: .
Решение:
Т. к. то для
, и по признаку Даламбера ряд расходится.
2. Исследовать сходимость ряда: .
Решение:
Т. к.
, то по предельному признаку Коши ряд сходится.