Будем рассматривать ряды 
, 
. Последовательность 
будет монотонной неубывающей последовательностью. Тогда очевидна теорема:
Теорема. Для того чтобы ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность 
} была ограниченной.
Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами
Теорема (признак сравнения)
Пусть даны два ряда: (1) и 
(2). Если, начиная с некоторого номера выполняется: 
(3), 
, то из сходимости ряда (2) 
сходимость ряда (1); из расходимости ряда (1) расходимость ряда (2).
Доказательство:
Не ограничивая общности, будем считать, что неравенство выполняется для всех n (см. выводы в 2).
Пусть 
. Очевидно, последовательности {
} и {
} – монотонные неубывающие.
Пусть ряд (2) сходится. Тогда {} ограничена: 
. Но тогда, в силу (3), 
и ряд (1) – также сходится.
Пусть ряд (1) расходится. Если бы ряд (2) сходился, то, по доказанному выше, сходился бы и ряд (1). Т. е. получили бы противоречие. Таким образом, ряд (2) также расходится. 
Теорема (признак сравнения в предельной форме)
Пусть 
Если существует 
то ряды (1) и (2) сходятся либо расходятся одновременно.
Доказательство:
Пусть ряд (2) сходится.
Из существования 
: 
, откуда получаем:
или 
следует сходимость ряда (1).
Пусть ряд (2) расходится.
Существует 
, откуда аналогичным образом получаем: 
.
Если бы сходился ряд (1), а вместе с ним и ряд 
, то по теореме 1 сходился бы и ряд (2). А это не так. Значит, ряд (1) также расходится.
Пример: 
.
Так как 
, а ряд 
— расходится (
то расходится и ряд 
.
Теорема (признак Коши)
Пусть 
Если, начиная с некоторого номера 
, 
для всех 
, то ряд (1) сходится. Если же 
, то ряд (1) расходится.
Доказательство:
1. Пусть 
при . Не ограничивая общности, можем считать, что 
Тогда 
и при 
ряд 
сходится, и по теореме 1 сходится ряд (1).
2. Если же 
, то 
и ряд (1) расходится.
Замечание
Условие нельзя заменит следующим: 
<1.
Пример: 
При 
, однако ряд расходится.
Теорема (признак Коши в предельной форме)
Если существует 
, то при ряд (1) сходится; при 
расходится, при 
этот признак не даёт возможности судить о поведении ряда.
Доказательство:
A) 
Начиная с некоторого номера <
1. Ряд сходится.
Б) 
начиная с некоторого номера >1. Ряд расходится.
Теорема (признак Даламбера)
Пусть 
Если, начиная с некоторого номера , 
для всех , то ряд (1) сходится. Если же 
, то ряд (1) расходится.
Доказательство:
Пусть 
. Для 
Т. к. ряд 
— сходится, то, по признаку сравнения, сходится и остаток ряда 
, а значит, сходится ряд 
(1).
Пусть для . Т. е. 
и 
, не выполняется необходимое условие сходимости ряда. Ряд расходится.
Теорема (признак Даламбера в предельной форме)
Если 
то при ряд (1) сходится, при расходится, при этот признак не даёт возможности судить о поведении ряда.
Доказательство:
A) Начиная с некоторого номера 
Ряд сходится.
Б) начиная с некоторого номера 
>1. Ряд расходится.
Примеры:
1. Исследовать сходимость ряда: 
.
Решение:
Т. к. 
то для 
, и по признаку Даламбера ряд расходится.
2. Исследовать сходимость ряда: 
.
Решение:
Т. к. 
, то по предельному признаку Коши ряд сходится.