1°. Пусть ряд сходится и
Тогда для любого
(
= coNst) сходится ряд
и имеет сумму
.
Доказательство:
Пусть .
2°. Если сходятся ряды и
, то сходится ряд
и имеет сумму A+B.
Доказательство:
Пусть . Очевидно,
.
3°. Если , то для любых чисел
и
.
Доказательство:
Следует из свойств 1° и 2°.
4°. Если сходится ряд , то сходится и любой его остаток. Если сходится какой-нибудь остаток ряда, то сходится и сам ряд.
Доказательство:
Обозначим m-ый остаток ряда , его p-ую частичную сумму
. Пусть
.
;
(*)
Зафиксируем , а
устремим к бесконечности. Тогда
.
и остаток ряда
сходится.
Если же известно, что сходится остаток ряда , то из (*) следует:
и ряд
сходится.
Обозначим . Тогда из (*) следует:
(**) или
.
Выводы:
1. Переходя в (**) к пределу при , получаем
2. Отбрасывание конечного числа начальных членов ряда или присоединение в начале его нескольких новых членов не отражается на поведении ряда (в смысле его сходимости или расходимости).