Свойства сходящихся ФП и ФР.

Сходимость ФР определяется сходимостью ФП частичных сумм
Любой функциональной последовательности можно поставить в соответствие ФР:
()+…

=X), =X), =X),… =X).

Исследование любой ФП можно заменить исследованием ФР.

Сумма конечного числа непрерывных функций дает непрерывную функцию. Справедливо ли это для ФР?

Пример: x+(x2-x)+(x3-x2)+…– все члены ряда непрерывные функции

X=[0;1] Sn=x+(x2-x)+…+(xn-x(n-1))= xn {xn}

S(x)=

Теорема 1. Непрерывность суммы равномерно сходящихся ФР.

Пусть члены ФР непрерывны на [a, b], ряд равномерно сходится к S(x) на [a, b]. Тогда сумма ряда S(x) непрерывна на [a, b].

Доказательство:

Докажем[a, b] S(x0), т. е.

>0 >0:.

Рассмотрим (*). Так как:

А) ФР >0 ,[a, b] (в том числе для );

В) =u1(x)+…+un(x)- непрерывна на[a, b]

>0>0: [a, b]:<, то в силу (*) при выполняется .

Замечание.

= =

Теорема 2.

(1) {fn(x)}F(x) на [a, b];

Fn(x)– непрерывны, тогда этого достаточно, чтобы f(x) была непрерывна на [a;b].

Почленное интегрирование РСФР

Теорема 3.

Пусть члены ФР непрерывны на [a, b], ряд равномерно сходится к S(x) на [a, b]. , — непрерывны на[a;b]. Тогда ФР можно интегрировать почленно: .

Доказательство:

Так как , S(x) (в силу теоремы 1) — непрерывны на [a;b], то

Докажем:>0 >

= (т. к. из равномерной сходимости ФР >0 =: X [a;b], n> |S(x)-|<)

В теореме 3 интегрирование можно проводить по любому отрезку [a, x], где

X [a;b]

Теорема 4.

Fn (x) f(x) , fn(x)- непрерывны на [a;b]

Теорема 5. О почленном дифференцировании РСФР.

Пусть Прерывно дифференцируемы на [a;b]. ФР (1) Сходится на [a;b], (2) Равномерно сходится на [a;b]. Тогда

Доказательство:

Обозначим P= . Из теоремы 3 следует: = ;

= = —

= S(x)-S(a).

По теореме Барроу: ()´=P(x)= S´(x).

= (

Теорема 6.

Пусть (2) {fn(x)}F(x)

(4) {fN(x)} на [a;b]

Fn(x), fN(x)- непрерывны на [a;b], тогда ) {fN(x)} f(x)

Замечание.

= (

Пример.

Возможно ли почленное интегрирование ряда на отрезке [0;1]?

Sn(x)=…+ =

S(x)= = – разрывна.

Если бы данный ряд сходился равномерно, то по теореме 1 сумма ряда S(х) была бы непрерывна на [0;1]. Поэтому исходный ряд сходится неравномерно. В результате ответить на вопрос о почленном интегрировании ряда, основываясь на теореме 3, невозможно (равномерная сходимость в теореме 3 фигурирует лишь как достаточное условие).

= .

Рассмотрим — =— = .