- Сходимость ФР определяется сходимостью ФП частичных сумм
- Любой функциональной последовательности можно поставить в соответствие ФР:
(
)+…
=
X),
=
X),
=
X),…
=
X).
Исследование любой ФП можно заменить исследованием ФР.
Сумма конечного числа непрерывных функций дает непрерывную функцию. Справедливо ли это для ФР?
Пример: x+(x2-x)+(x3-x2)+…– все члены ряда непрерывные функции
X=[0;1] Sn=x+(x2-x)+…+(xn-x(n-1))= xn {xn}
S(x)=
Теорема 1. Непрерывность суммы равномерно сходящихся ФР.
Пусть члены ФР
непрерывны на [a, b], ряд равномерно сходится к S(x) на [a, b]. Тогда сумма ряда S(x) непрерывна на [a, b].
Доказательство:
Докажем[a, b]
S(x0), т. е.
>0
>0:
.
Рассмотрим
(*). Так как:
А) ФР
>0
,
[a, b]
(в том числе для
);
В) =u1(x)+…+un(x)- непрерывна на[a, b]
>0
>0:
[a, b]:
<
, то в силу (*) при
выполняется
.
Замечание.
=
=
Теорема 2.
(1) {fn(x)}F(x) на [a, b];
Fn(x)– непрерывны, тогда этого достаточно, чтобы f(x) была непрерывна на [a;b].
!
=
Почленное интегрирование РСФР
Теорема 3.
Пусть члены ФР
непрерывны на [a, b], ряд равномерно сходится к S(x) на [a, b].
,
— непрерывны на[a;b]. Тогда ФР можно интегрировать почленно:
.
Доказательство:
Так как , S(x) (в силу теоремы 1) — непрерывны на [a;b], то
Докажем:>0
>
=
(т. к. из равномерной сходимости ФР
>0
=
:
X
[a;b],
n>
|S(x)-
|<
)
1.
В теореме 3 интегрирование можно проводить по любому отрезку [a, x], где
X [a;b]
2.
=
Теорема 4.
Fn (x) f(x) , fn(x)- непрерывны на [a;b]
3.
=
Теорема 5. О почленном дифференцировании РСФР.
Пусть Прерывно дифференцируемы на [a;b]. ФР (1)
Сходится на [a;b], (2)
Равномерно сходится на [a;b]. Тогда
Доказательство:
Обозначим P=
. Из теоремы 3 следует:
=
;
=
=
—
= S(x)-S(a).
По теореме Барроу: ()´=P(x)= S´(x).
= (
Теорема 6.
Пусть (2) {fn(x)}F(x)
(4) {fN(x)}
на [a;b]
Fn(x), fN(x)- непрерывны на [a;b], тогда ) {f
N(x)}
f
(x)
Замечание.
= (
Пример.
Возможно ли почленное интегрирование ряда на отрезке [0;1]?
,
Sn(x)=…+
=
S(x)=
=
– разрывна.
Если бы данный ряд сходился равномерно, то по теореме 1 сумма ряда S(х) была бы непрерывна на [0;1]. Поэтому исходный ряд сходится неравномерно. В результате ответить на вопрос о почленном интегрировании ряда, основываясь на теореме 3, невозможно (равномерная сходимость в теореме 3 фигурирует лишь как достаточное условие).
=
.
Рассмотрим —
=
—
=
.
,т. к.
Sn=1-+
—
+…+
—
)
= 1-
=
и
1) Найти
. Возможность почленного предельного перехода здесь обоснована равномерной сходимостью ФР:
(x)=
, x>0;
при всех x>0 для
. Мажорантный числовой ряд
Сходится, поэтому
сходится равномерно (на основании признака Вейерштрасса).