§1. Скалярное произведение. Определение евклидова пространства.
Пусть 
векторное пространство над полем 
. Рассмотрим два случая 
и 
.
Определение 1. Говорят, что в вещественном линейном пространстве задано Скалярное произведение, если задан закон, по которому каждой паре векторов 
ставится в соответствие число 
, удовлетворяющее следующим аксиомам:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
Замечание. Другими словами скалярное произведение — это положительно определенная симметричная билинейная форма.
Следствие 1.
1) 
;
2) 
;
Определение 2. Векторное пространство над полем 
с определенным в нем скалярным произведением называется Евклидовым Пространством, и обозначается 
.
Определение 3. Говорят, что в линейном пространстве над полем комплексных чисел задано Скалярное произведение, если задан закон, по которому каждой паре векторов ставится в соответствие число 
, удовлетворяющее следующим аксиомам:
1) ;
2) 
;
3) 
;
4) ;
Следствие 2.
1) ;
2) ;
Определение 4. Векторное пространство над полем 
с определенным в нем скалярным произведением называется Унитарным пространством (комплексным евклидовым пространством), и обозначается .
§2. Длина и угол.
Пусть евклидово или унитарное пространство.
Определение 1. Длиной вектора в евклидовом или унитарном пространстве называют число 
.
Свойства длины.
1) 
;
2) Теорема 1(Коши-Буняковского)
,
Причем знак равенства тогда и только тогда, когда векторы линейно зависимые;
3) Теорема 2(неравенство треугольника)
.
Определение 2. Пусть 
. Углом между векторами 
и 
называется угол косинус, которого равен
.
§3. Ортогональные системы векторов.
Процесс ортогонализации Шмидта.
Пусть евклидово или унитарное пространство.
Определение 1. Векторы 
называются Ортогональными 
, если 
.
Свойства ортогональных векторов
1) 
.
2) Если ортогонален каждому вектору пространства, то 
.
3) Если 
, то 
. (теорема Пифагора)
Определение 2. Система векторов 
называется Ортогональной, если 
.
Определение 3. Система векторов называется Ортонормированной, если она ортогональна и 
.
Теорема 1
Ортогональная СИстема ненулевых векторов, содержащая не более 
векторов, линейно независима.
Следствие 1. Ортонормированная СИстема векторов, содержащая не более векторов, линейно независима.
Теорема 2
В каждом конечномерном евклидовом или унитарном пространстве существует ортонормированный базис.
Процесс ортогонализации Шмидта
Пусть в 
задан базис 
. Построим систему векторов 
по правилу:
Каждый из векторов 
, т. к. является линейной комбинацией линейно независимых векторов (базисных), причем один из коэффициентов равен единице.
Выбираем коэффициенты 
, так чтобы каждый из векторов 
был ортогонален всем предыдущим
.
После конечного числа шагов получаем систему ненулевых векторов ортогональных друг другу, следовательно, базис, из которого получим ортонормированный базис:
.
§4. Выражение скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов. Матрица Грама. Связь между ортонормированными базисами.
Пусть 
базис в Евклидовом пространстве,
и 
.
, 
.
Найдем скалярное произведение векторов и :
Введем обозначение 
(метрический тензор)
Для Унитарного Пространства, аналогично имеем:
Знак сопряжения появляется на основании определения скалярного произведения для унитарного пространства.
Определение 1. Матрица 
элементами, которой являются соответствующие скалярные произведения базисных векторов, называется Матрицей Грама. 
Для Евклидова пространства, имеем:
.
Для Унитарного пространства, имеем:
.
Теорема 1
Для того чтобы вещественная квадратная матрица была матрицей Грама в некотором базисе Евклидова пространства необходимо и достаточно, чтобы она была симметричной, и все ее главные угловые миноры были положительными.
Определение 2. Матрица, для которой выполняется условие 
называется Эрмитовой.
Теорема 2
Для того чтобы комплексная квадратная матрица была матрицей Грама в некотором базисе Унитарного пространства необходимо и достаточно, чтобы она была эрмитовой, и все ее главные угловые миноры были положительными
Теорема 3
Для того чтобы базис был ортонормированным необходимо и достаточно, чтобы матрица Грама была единичной.
В Ортонормированном базисе имеем:
Для Евклидова пространства
.
Для Унитарного пространства
.
Изменение матрицы при переходе к другому базису
Пусть заданы два базиса 
и 
, 
матрица перехода, матрица билинейной формы в старом базисе, 
— в новом, тогда
Для Евклидова пространства
.
Для Унитарного пространства
Если базисы Ортонормированные, то имеем
Для Евклидова пространства 
. (— ортогональная матрица)
Для Унитарного пространства 
. (— унитарная матрица)
§5. Разложение евклидова пространства в
Прямую сумму подпространств.
Пусть евклидово (унитарное) пространство, 
— его подпространство.
Определение 1. множество всех векторов пространства , ортогональных каждому вектору из , называется Ортогональным дополнением подпространства и обозначается 
, т. е.
.
Теорема 1
Ортогональное дополнение является подпространством.
Теорема 2
Если подпространство , то
.