§1. Скалярное произведение. Определение евклидова пространства.
Пусть векторное пространство над полем
. Рассмотрим два случая
и
.
Определение 1. Говорят, что в вещественном линейном пространстве задано Скалярное произведение, если задан закон, по которому каждой паре векторов ставится в соответствие число
, удовлетворяющее следующим аксиомам:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
Замечание. Другими словами скалярное произведение — это положительно определенная симметричная билинейная форма.
Следствие 1.
1)
;
2)
;
Определение 2. Векторное пространство над полем с определенным в нем скалярным произведением называется Евклидовым Пространством, и обозначается
.
Определение 3. Говорят, что в линейном пространстве над полем комплексных чисел задано Скалярное произведение, если задан закон, по которому каждой паре векторов ставится в соответствие число
, удовлетворяющее следующим аксиомам:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
Следствие 2.
1)
;
2)
;
Определение 4. Векторное пространство над полем с определенным в нем скалярным произведением называется Унитарным пространством (комплексным евклидовым пространством), и обозначается
.
§2. Длина и угол.
Пусть евклидово или унитарное пространство.
Определение 1. Длиной вектора в евклидовом или унитарном пространстве называют число .
Свойства длины.
1) ;
2) Теорема 1(Коши-Буняковского)
,
Причем знак равенства тогда и только тогда, когда векторы линейно зависимые;
3) Теорема 2(неравенство треугольника)
.
Определение 2. Пусть . Углом между векторами
и
называется угол косинус, которого равен
.
§3. Ортогональные системы векторов.
Процесс ортогонализации Шмидта.
Пусть евклидово или унитарное пространство.
Определение 1. Векторы называются Ортогональными
, если
.
Свойства ортогональных векторов
1) .
2) Если ортогонален каждому вектору пространства, то
.
3) Если , то
. (теорема Пифагора)
Определение 2. Система векторов называется Ортогональной, если
.
Определение 3. Система векторов называется Ортонормированной, если она ортогональна и
.
Теорема 1
Ортогональная СИстема ненулевых векторов, содержащая не более векторов, линейно независима.
Следствие 1. Ортонормированная СИстема векторов, содержащая не более векторов, линейно независима.
Теорема 2
В каждом конечномерном евклидовом или унитарном пространстве существует ортонормированный базис.
Процесс ортогонализации Шмидта
Пусть в задан базис
. Построим систему векторов
по правилу:
Каждый из векторов , т. к. является линейной комбинацией линейно независимых векторов (базисных), причем один из коэффициентов равен единице.
Выбираем коэффициенты , так чтобы каждый из векторов
был ортогонален всем предыдущим
.
После конечного числа шагов получаем систему ненулевых векторов ортогональных друг другу, следовательно, базис, из которого получим ортонормированный базис:
.
§4. Выражение скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов. Матрица Грама. Связь между ортонормированными базисами.
Пусть базис в Евклидовом пространстве,
и
.
,
.
Найдем скалярное произведение векторов и
:
Введем обозначение (метрический тензор)
Для Унитарного Пространства, аналогично имеем:
Знак сопряжения появляется на основании определения скалярного произведения для унитарного пространства.
Определение 1. Матрица элементами, которой являются соответствующие скалярные произведения базисных векторов, называется Матрицей Грама.
Для Евклидова пространства, имеем:
.
Для Унитарного пространства, имеем:
.
Теорема 1
Для того чтобы вещественная квадратная матрица была матрицей Грама в некотором базисе Евклидова пространства необходимо и достаточно, чтобы она была симметричной, и все ее главные угловые миноры были положительными.
Определение 2. Матрица, для которой выполняется условие называется Эрмитовой.
Теорема 2
Для того чтобы комплексная квадратная матрица была матрицей Грама в некотором базисе Унитарного пространства необходимо и достаточно, чтобы она была эрмитовой, и все ее главные угловые миноры были положительными
Теорема 3
Для того чтобы базис был ортонормированным необходимо и достаточно, чтобы матрица Грама была единичной.
В Ортонормированном базисе имеем:
Для Евклидова пространства
.
Для Унитарного пространства
.
Изменение матрицы при переходе к другому базису
Пусть заданы два базиса и
,
матрица перехода,
матрица билинейной формы в старом базисе,
— в новом, тогда
Для Евклидова пространства
.
Для Унитарного пространства
Если базисы Ортонормированные, то имеем
Для Евклидова пространства . (
— ортогональная матрица)
Для Унитарного пространства . (
— унитарная матрица)
§5. Разложение евклидова пространства в
Прямую сумму подпространств.
Пусть евклидово (унитарное) пространство,
— его подпространство.
Определение 1. множество всех векторов пространства , ортогональных каждому вектору из
, называется Ортогональным дополнением подпространства
и обозначается
, т. е.
.
Теорема 1
Ортогональное дополнение является подпространством.
Теорема 2
Если подпространство
, то
.