Уравнения движения сплошной среды

Для выделенного подвижного объема сплошной среды, как для любой с-ы материальных точек, должен выполняться закон изменения импульса. На выделенный объем действуют два вида сил. Это — силы, действующие на все частицы объема, или Массовые сил. и силы, действующие на по­верхность объема со стороны соседних слоев сплошной среды, или Поверхностные силы. Массовые силы задают при помощи плотно­сти силы, отнесенной к единице массы. Поверхностные силы за­дают при помощи плотности, отнесенной к единице поверхности. Плотность массовых и плотность поверхностных сил определяются соотношениями:, . (8.32) Сумма сил, действующих на объем, определится суммой ин­тегралов по объему и по поверхности от этих плотностей. Исполь­зуем выражение Для производной от импульса и запишем закон изменения импульса некоторого подвижного объема сплош­ной среды в виде . (8.33) Поверхностная сила , действующая на элементарную пло­щадку поверхности, ограничивающей выделенный объем, в об­щем случае зависит от ориентации этой площадки. Ориентацию площадки задают нормалью к ней . Зависимость плотности по­верхностной силы от ориентации площадки может быть предста­влена в тензорной форме: . (8.34) Здесь индексы означают номер проекции на оси декартовой си­стемы координат. Величина является тензором второго ранга и называется Тензором напряжений. С его помощью рассчитываются поверхностные силы, действующие в любой точке сплошной среды.

Подставим выражение плотности поверхностной силы через тен­зор напряжений (8.34) в поверхностный интеграл в формуле (8.33) и преобразуем его в объемный. Для этого воспользуемся теоремой Остроградского— Гаусса. Запишем ее вначале в индексной форме для произвольного вектора :

, . (8.35) По аналогии с правой частью формулы (8.35) проекции поверх­ностной силы преобразовываются к объемным интегралам сл. обр.: . (8.36)

Записывая теперь уравнение (8.33) в проекциях на оси декарто­вой системы координат и преобразуя с помощью (8.36) поверхностный интеграл в объемный, получим соотношение

. (8.37) — должно выполняться для любого подвиж­ного объема, то отсюда следует, что выражение в скобках равно нулю. Это приводит к ур-нию . (8.38) — выражает Закон изменения импульса, записанный Для каждой точки сплошной среды. Уравнение (8.38) — Уравнением движения сплошной среды. Оно связывает ускорение сплошной среды с действующими на среду силами и с напряжени­ями, возникающими в сплошной среде. Запишем закон изменения момента импульса для по­движного объема сплошной среды. В сумму моментов сил входят моменты массовых и поверхностных сил, которые соответствен­но будут задаваться объемным и поверхностным интегралами. В результате уравнение закона изменения момента импульса прини­мает вид . (8.39)

Запишем это уравнение в проекциях на декартовы оси и подставим в левую часть производную от вектора из уравнения (8.38). То­гда интегралы, содержащие массовые силы в левых и правых ча­стях уравнений, взаимно уничтожатся. Останутся только члены, содержащие тензор напряжений. Например, проекция уравнения (8.39) на ось Ох примет вид . (8.40)

Если поверхностный интеграл в правой части равенства (8.40) с помощью теоремы Остроградского — Гаусса (8.35) преобразовать к объемному, то после сокращений получится равенство . (8.41)

Откуда следует, что . Проекции на другие оси дадут условия: , . Из закона измене­ния момента импульса вытекает, что тензор напряжений является Симметричным тензором. Вследствие симметрии он имеет толь­ко 6 независимых компонент. Так как тензор напряжений не задан и определяется в процес­се решения задачи о движении сплошной среды, то число неиз­вестных в уравнениях (8.38) больше числа уравнений. Поэтому уравнения (8.38) должны быть дополнены. Одним из таких допол­нительных уравнений является уравнение неразрывности которое выполняется для любой сплошной среды.

В качестве дополнительных соотношений, замыкающих систему уравнений движения сплошной среды, привлекают уравнения, ко­торые связывают напряжения в сплошной среде с ее деформацией или скоростью деформации. Выбор этих соотношений определя­ет модель сплошной среды, которую будут описывать уравнения. Для таких сред, как газы, жидкости, упругие тела, соответству­ющие модели получаются из простых предположений о связи на­пряжений с характеристиками сплошной среды.