Для выделенного подвижного объема сплошной среды, как для любой с-ы материальных точек, должен выполняться закон изменения импульса. На выделенный объем действуют два вида сил. Это — силы, действующие на все частицы объема, или Массовые сил. и силы, действующие на поверхность объема со стороны соседних слоев сплошной среды, или Поверхностные силы. Массовые силы задают при помощи плотности силы, отнесенной к единице массы. Поверхностные силы задают при помощи плотности, отнесенной к единице поверхности. Плотность массовых и плотность поверхностных сил определяются соотношениями:,
. (8.32) Сумма сил, действующих на объем, определится суммой интегралов по объему и по поверхности от этих плотностей. Используем выражение
Для производной от импульса и запишем закон изменения импульса некоторого подвижного объема сплошной среды в виде
. (8.33) Поверхностная сила
, действующая на элементарную площадку
поверхности, ограничивающей выделенный объем, в общем случае зависит от ориентации этой площадки. Ориентацию площадки задают нормалью к ней
. Зависимость плотности поверхностной силы
от ориентации площадки может быть представлена в тензорной форме:
. (8.34) Здесь индексы означают номер проекции на оси декартовой системы координат. Величина
является тензором второго ранга и называется Тензором напряжений. С его помощью рассчитываются поверхностные силы, действующие в любой точке сплошной среды.
Подставим выражение плотности поверхностной силы через тензор напряжений (8.34) в поверхностный интеграл в формуле (8.33) и преобразуем его в объемный. Для этого воспользуемся теоремой Остроградского— Гаусса. Запишем ее вначале в индексной форме для произвольного вектора :
,
. (8.35) По аналогии с правой частью формулы (8.35) проекции поверхностной силы преобразовываются к объемным интегралам сл. обр.:
. (8.36)
Записывая теперь уравнение (8.33) в проекциях на оси декартовой системы координат и преобразуя с помощью (8.36) поверхностный интеграл в объемный, получим соотношение
. (8.37) — должно выполняться для любого подвижного объема, то отсюда следует, что выражение в скобках равно нулю. Это приводит к ур-нию
. (8.38) — выражает Закон изменения импульса, записанный Для каждой точки сплошной среды. Уравнение (8.38) — Уравнением движения сплошной среды. Оно связывает ускорение сплошной среды с действующими на среду силами и с напряжениями, возникающими в сплошной среде. Запишем закон изменения момента импульса для подвижного объема сплошной среды. В сумму моментов сил входят моменты массовых и поверхностных сил, которые соответственно будут задаваться объемным и поверхностным интегралами. В результате уравнение закона изменения момента импульса принимает вид
. (8.39)
Запишем это уравнение в проекциях на декартовы оси и подставим в левую часть производную от вектора из уравнения (8.38). Тогда интегралы, содержащие массовые силы в левых и правых частях уравнений, взаимно уничтожатся. Останутся только члены, содержащие тензор напряжений. Например, проекция уравнения (8.39) на ось Ох примет вид
. (8.40)
Если поверхностный интеграл в правой части равенства (8.40) с помощью теоремы Остроградского — Гаусса (8.35) преобразовать к объемному, то после сокращений получится равенство . (8.41)
Откуда следует, что . Проекции на другие оси дадут условия:
,
. Из закона изменения момента импульса вытекает, что тензор напряжений является Симметричным тензором. Вследствие симметрии он имеет только 6 независимых компонент. Так как тензор напряжений не задан и определяется в процессе решения задачи о движении сплошной среды, то число неизвестных в уравнениях (8.38) больше числа уравнений. Поэтому уравнения (8.38) должны быть дополнены. Одним из таких дополнительных уравнений является уравнение неразрывности
которое выполняется для любой сплошной среды.
В качестве дополнительных соотношений, замыкающих систему уравнений движения сплошной среды, привлекают уравнения, которые связывают напряжения в сплошной среде с ее деформацией или скоростью деформации. Выбор этих соотношений определяет модель сплошной среды, которую будут описывать уравнения. Для таких сред, как газы, жидкости, упругие тела, соответствующие модели получаются из простых предположений о связи напряжений с характеристиками сплошной среды.