Волновая функция свободной частицы

В предыдущем параграфе говорилось о том, что в микромире можно определить лишь вероятность значений тех физических величин, которые мы до сих пор употребляли для описания движения макроскопических тел (координат, импульсов, энергии и т. д.). В частности, вероятность найти частицу в данной области пространства пропорциональна квадрату амплитуды волны, связанной с частицей. Математическое выражение, описывающее распространение какой-либо волны в пространстве, носит название волновой функции. Таким образом, для описания движения частиц нужно уметь находить их волновые функции в различных физических условиях.

Для величин, которые меняются непрерывным образом в пространстве с течением времени (именно такими величинами являются волны, точнее волновые функции, описывающие эти волны), можно, пользуясь физическими законами, найти дифференциальные уравнения, которые содержат производные по времени и координатам. Мы будем искать подобное уравнение для волновых функций частиц, основываясь на том, что световые (электромагнитные) волны и волны, связанные с частицами, должны иметь некоторое сходство. Поэтому сначала мы обратимся к волновым уравнениям для электромагнитных волн.

Из уравнений Максвелла при некоторых добавочных предположениях можно получить для напряженностей электрического и магнитного полей (в пустоте) волновые уравнения

Где С – скорость света.

Решением этих уравнений является, в частности, плоская монохроматическая электромагнитная волна, распространяющаяся вдоль оси Ох, в которой векторы напряженностей и перпендикулярны друг другу и направлению распространения. Зависимости и от координаты Х и времени T (волновые функции) определяются выражениями

Где Т – период колебаний, а λ – длина волны.

Так как выражения (2.3) и (2.4) имеют одинаковую структуру, то нам достаточно будет рассмотреть лишь одно из них, например, выражение (2.3). Учитывая, что период связи с частотой ν соотношением и что, согласно формулам и , перепишем выражение (2.3) в виде

Где для краткости обозначено .

Естественно считать, что свободной частице, которая движется равномерно и прямолинейно и имеет при этом постоянные импульс Р и энергию Е, соответствует также плоская монохроматическая волна. Волновую функцию Ψ, описывающую такую волны, мы запишем в несколько более общем, по сравнению с выражением (2.5) для плоской световой волны, комплексном виде

Здесь P – импульс частицы, направленный не по оси ОX, а в произвольном направлении, R0 – расстояние поверхности равной фазы от начала координат (поверхность равной фазы — плоскость, перпендикулярная направлению распространения волны, а, следовательно, и импульса), A – амплитуда волны.

Согласно правилам действий с комплексными числами, выражение (2.6) можно представить в виде

Который будет являться обобщением формулы (2.5).

Комплексную волновую функцию мы взяли, во-первых, потому, что в ряде случаев математические действия при этом оказываются намного легче. Во-вторых, для волн, связанных с частицами, как мы уже знаем, физический смысл имеет лишь квадрат амплитуды волны, сама же волновая функция является промежуточной, вспомогательной величиной, и наличие в ней мнимой части не имеет существенного значения. Наконец, как мы уже говорили, правильность выбора вида функции доказывается тем, что следствия квантовой механики при употреблении комплексных волновых функций подтверждаются опытом.

Рис. 2.1

Преобразуем функцию (2.6) так, чтобы в нее явно входили координаты той точки пространства, в которой мы интересуемся величиной волновой функции. Возьмем на некоторой поверхности равной фазы (плоскость ABCD На рис. 2.1) произвольную точку G с координатами . Проведем в эту точку из начала координат вектор , проекции которого на координатные оси равны . Опустим из начала координат на плоскость ABCD перпендикуляр OF, длина которого равна R0, а направление совпадает с направлением распространения волны и, следовательно, с направлением импульса частицы (проекции импульса на координатные оси ). Из треугольника FOG найдем , где θ – угол между векторами и . Таким образом, величина представляет собой скалярное произведение векторов и . Согласно правилам действий с векторами, это скалярное произведение можно выразить через проекции векторов: