Введение

Настоящий курс лекций посвящен изложению основ электродинамики.

Физика как фундаментальная естественнонаучная дисциплина предназначена для формирования у студентов физического образа мышления. Представленный курс ставит целью обучение студентов старших курсов основным законам электродинамики, построению математических моделей электромагнитных явлений, а также их анализу на основе аналитических решений ряда задач. Электромагнитные явления наиболее широко представлены в окружающем нас мире. Чрезвычайно велико значение теории электромагнитных явлений. Она сыграла решающую роль в возникновении и обосновании и обосновании теории относительности и явилась тем «полигоном», на котором проходили проверку многие новые идеи.

Существует два пути обоснования и изложения теории электромагнитных явлений, а именно: с теорией относительности или без нее. В курсе выбран второй путь, где в качестве экспериментальных основ теории взяты инвариантность элементарного заряда, закон сохранения заряда, закон Кулона, принцип суперпозиции для электрического поля, закон Био-Савара, принцип суперпозиции для магнитного поля, сила Лоренца, закон электромагнитной индукции Фарадея, закон сохранения энергии, токи смещения, система уравнений Максвелла. В соответствии с таким путем изложения материала в курсе можно выделить четыре раздела:

— электрическое поле при наличии проводников;

— энергия электрического поля и постоянный электрический ток;

— магнитное поле и электромагнитная индукция;

— электромагнитные волны.

В первом разделе дана классификация микроскопических носителей электрических зарядов и рассмотрены основные законы электростатики как в интегральной так и в дифференциальной форме. Для нахождения напряженности электрического поля используется электростатическая теорема Гаусса, а для расчета потенциалов используется уравнение Лапласа и Пуассона. Рассматривается также метод электростатических изображений, изучается электростатическое поле при наличии диэлектриков и полупроводников.

Второй раздел охватывает вопросы, связанные с энергией электрического поля и электрическим током в проводниках, рассматриваются методы расчета линейных цепей.

Третий раздел посвящен магнитным явлениям, вызываемым стационарными токами в вакууме и магнетиках, явлению электромагнитной индукции. Конечным результатом материала, изложенного в этих разделах является система уравнений Максвелла, которая затем используется в четвертом разделе для описания волновых процессов, протекающих в вакууме, линейных диэлектриках и проводниках. Обращается внимание на вопросы о границах применимости теории и области применимости используемых в теории понятий и моделей.

Представленный курс «Электродинамика» читается для студентов факультета прикладной математики и информатики Белорусского государственного университета по специальности 1- 31.03.03 «Прикладная математика».

Основные формулы, соотношения и теоремы

Пусть V некоторая область трехмерного пространства. Если каждой точке M области V поставлено в соответствие одно и только одно действительное число F(M), то говорят, что в области V задано скалярное поле F=F(M). Если же каждой точке M области V поставлен в соответствие один и только один вектор, то говорят, что в области V задано векторное поле . В фиксированной декартовой системе координат Oxyz Задание скалярного поля равносильно заданию скалярной функции F=F(X,Y,Z), а векторного поля — заданию векторной функции , причем

,

Где ,,— компоненты вектора соответственно по осям Ox, Oy, Oz .

В дальнейшем будем считать, что функция F(X,Y,Z) и компоненты Ox, Oy, Oz непрерывны в области V вместе со своими частными производными.

В курсе электродинамики и рассматриваются скалярные и векторные величины, зависящие в общем случае от координат (X,Y,Z) и времени T.

Основной характеристикой скалярного поля является градиент.

Градиент — это векторная функция, аргументом у которой является скалярная функция точки. Если F (x, y, z) — скалярная функция заданная в точке M(X,Y,Z), то

Нормальная производная или Производная вдоль нормали – это скалярное произведение вектора на вектор нормали , т. е. и она характеризует быстроту изменения поля F По направлению.

Пусть заданы два вектора: ,

Скалярное произведение: ^

Векторное произведение: =.

Дивергенция — скалярная функция, аргументом которой является векторная функция точки. Пусть — векторная функция и — проекции этой функции на оси координат, тогда .

Ротор — это векторная функция, аргументом которой является векторная функция точки, т. е.

.

Оператор Лапласа в декартовой системе координат: .

Оператор Гамильтона (символический вектор):.

С его помощью можно записать градиент, дивергенцию и ротор, а именно:

;

;

;

.

Наиболее часто встречаемые формулы.

,

,

,

,

,

Циркуляция вектора.

Пусть задана дуга AB и произвольная точка М на ней. векторное поле. Циркуляцией вектора по дуге AB называется значение криволинейного интеграла, где — элемент дуги.

Если векторное поле , то , т. е. циркуляция зависит только от начальной и конечной точек пути интегрирования.

Поток вектора.

Пусть задана двухсторонняя поверхность S. М — переменная точка на этой поверхности. Возьмем элементарную площадку , содержащую точку М, и проведем вектор единичной нормали . Введем обозначение: . Пусть задано векторное поле . Тогда Потоком вектора через поверхность S, ограничивающую некоторый объем V называют значение двойного интеграла:

.

Теорема Остроградского-Гаусса.

Теорема Остроградского-Гаусса — это теорема, выраженная формулой:

или — интеграл от дивергенции , распространенный на объеме V, равен потоку вектора , направленному по внешней нормали через замкнутую поверхность S, ограничивающую этот объем. С физической точки зрения эта теорема может быть сформулирована так:

Если внутри объема V имеются источники, порождающие векторное поле , то имеются и стоки.

Формула Стокса.

Предположим, имеется замкнутый контур , ограничивающий поверхность S, и задано векторное поле . Тогда циркуляция вектора по замкнутому контуру равна потоку вектора через поверхность, ограниченную этим контуром:

или .

Оператор Лапласа в цилиндрической системе координат имеет вид:

.

Оператор Лапласа в сферической системе координат имеет вид:

,

Где — полярный угол; — азимутальный угол.

Фундаментальные силы в природе.

В настоящее время в физике известны четыре вида взаимодействий материальных объектов:

— гравитационное;

— электромагнитное;

— сильное;

— слабое.

Эти взаимодействия проявляют себя в различных пространственных масштабах, т. е. для каждого из них существует свой радиус взаимодействия (расстояние, на котором данное взаимодействие заметно), и характеризуется своей интенсивностью.

Гравитационное взаимодействие заметно между телами астрономических масштабов и радиус его взаимодействия огромен.

Сильное взаимодействие обнаруживает себя между определенными частицами при их сближении на расстояние порядка 10-15-10-14м. Сильное взаимодействие связывает между собой нуклоны (протоны и нейтроны) в ядре и именно оно ответственно за различные ядерные процессы, при которых освобождается огромное количество энергии.

Слабое взаимодействие осуществляется при взаимопревращении некоторых частиц и радиус этого взаимодействия порядка 10-18-10-17м. Именно благодаря слабому взаимодействию происходит распад свободного нейтрона на электрон , протон И антинейтрино , т. е. . Время жизни нейтрона в свободном состоянии приблизительно 17 минут.

Электромагнитное взаимодействие проявляется в тех пространственных масштабах, в которых осуществляется наша повседневная жизнь.

Практически все силы, обуславливающие физические явления вокруг нас, кроме гравитационных, являются в конечном итоге силами с электромагнитной природой (силы трения, упругости, вязкости и др.).

Электромагнитные силы проявляют себя от расстояний порядка размеров Земли до атомных расстояний, т. е. в пределах от 107 до 10-10 (м). Электромагнетизм весьма многогранен. Его проявления мы видим в электромоторе, лазере, радиотелескопе, свет тоже имеет электромагнитную природу.

Конечно, все многообразие связи и явления, обусловленные электромагнитными взаимодействиями, не могут быть описаны законами электродинамики, поскольку на каждом уровне явления существуют свои специфические черты и закономерности, не сводимые к закономерностям другого уровня. Однако электромагнитные взаимодействия на всех уровнях являются в определенном смысле элементарной связью, с помощью которой образуется вся цепь связей. Этим определяется практическое значение электромагнитных явлений.

Очень существенно общефилософское и мировоззренческое значение электромагнетизма. Например, в рамках электромагнитных явлений отчетливо проявляются особенности полевой теории существования материи, хорошо прослеживается взаимопревращение ее различных форм и взаимопревращение различных форм энергии.