Рассмотрим важный случай центрального поля, когда потенциальная энергия равна (4.21) Силу, действующую на материальную точку, найдем по формуле
(4,22), где
— единичный вектор, направленный по радиусу. Знак плюс относится к полю отталкивания, когда сила направлена от центра. Знак минус — полю притяжения. Для рассматриваемого потенциального поля сила обратно пропорциональна квадрату радиуса. Такую зависимость силы от расстояния имеют поле тяготения сферически симметричной массы и электрическое поле точечн. или сферически симметричн. заряда.
Уравнение траектории получим, вычисляя интеграл (4.18). Запишем его для поля притяжения, выбирая знак минус в (4.21). Положим также постоянную =0 и выберем знак плюс перед интегралом. Такой выбор постоянной и знака перед интегралом соответствует выбору оси ОХ в направлении на положение минимального удаления материальной точки от центра. Тогда интеграл имеет вид
(4.23) Интеграл (4.23) приводится к табличному интегралу путем замены
и выделением полного квадрата под знаком корня. Результат интегрирования можно записать в форме (4.24)
Где введены две новые постоянные: параметр И эксцентриситет
. Они равны:
;
(4.25) Уравнение (4.24) задает в полярных координатах одно из конических сечений: гиперболу, параболу или эллипс. Начало полярной системы координат совпадает с одним из фокусов гиперболы или эллипса или с фокусом параболы. Вид конического сечения зависит от величины эксцентриситета
. При
Уравнение задает гиперболу. В этом случае положительна энергия материальной точки: (4.26)
Материальная точка, движущаяся по гиперболе, может уйти на бесконечность и будет иметь там ненулевую скорость. При второе слагаемое в (4.26) обращается в 0 и энергия материальной точки равна ее кинетической энергии
. Если
, то эксцентриситет
и уравнение (4.24) задает параболу. Материальная точка по-прежнему может уйти на бесконечность, но скорость ее на бесконечности =0. И наконец, при отрицательной энергии
материальной точки ее эксцентриситет
. Тогда уравнение (4.24) описывает эллипс. Движение материальной точки ограничено областью вблизи центра поля.
Если пренебречь взаимодействием планет между собой, то полученные для поля притяжения с
результаты можно применить к описанию движения планет Солнечной системы. Так как масса Солнца
>> массы планет Солнечной системы, то центр поля можно считать совпадающим с центром Солнца, а приведенную массу считать = массе планеты. Из закона всемирного тяготения имеем
. Выразим измеряемые астрономами величины — большую полуось орбиты и период обращения планеты — через энергию и момент импульса планеты. Из рис. 4.5 траектории планеты видно, что
;
(4.27)
Размер большой полуоси эллипса не зависит от момента импульса материальной точки и определяется только ее энергией. Период обращения материальной точки вокруг центра найдем путем интегрирования соотношения (4.11) закона площадей. За период обращения вокруг центра площадь, заметаемая радиусом-вектором материальной точки, равна площади эллипса. Используя значения для и
из (4.27), формулу
для площади эллипса и закон площадей (4.11), получим
(4.28) Подставляя в (4.28) значения
и
из формул (4.27), найдем период обращения:
(4.29)
Для планет Солнечной системы отношение
. Lля них период обращения зависит только от величины большой полуоси орбиты. Эти рез-ты для движения материальной точки по эллипсу в центральном поле в приложении к движению планет Солнечной системы открыты Кеплером. Законы Кеплера
Закон 1. Планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.
Закон 2. Площади, заметаемые радиусом-вектором планеты за одинаковые промежутки времени, равны.
Закон 3. Квадраты периодов обращения планет относятся как кубы их больших полуосей. Уравнение траектории для поля отталкивания, когда . :
(4.30)
И
даются формулой (4.25). Единственно возможной траекторией в этом случае является гипербола, для которой
И
.